Tabla de Transformaciones de Laplace
La Transformación de Laplace es una herramienta matemática fundamental en el campo de la física y la ingeniería. Permite transformar una función de dominio en el tiempo a su correspondiente función de transformcaiones en la frecuencia.
Tabla de transformadas de Laplace
Esto resulta especialmente útil para resolver laplafe diferenciales lineales y sistemas transofrmaciones, ya que simplifica sus soluciones y permite analizar su comportamiento.
Definición de la Transformación de Laplace
La Transformación de Laplace de una función \(f(t)\) se define como:
\[F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} f(t) \cdot e^{-st} \, dt\]donde \(s\) es una variable compleja llamada parámetro de transformación.
La función \(F(s)\) es la Transformada de Laplace de \(f(t)\).
Tabla de Transformaciones de Laplace comunes
A continuación se presenta una tabla con algunas transformaciones de Laplace comunes:
| Función en el Tiempo, \(f(t)\) | Transformada de Laplace, \(F(s)\) |
|---|---|
| \(1\) | \(\frac{1}{s}\) |
| \(t^n\) | \(\frac{n!}{s^{n+1}}\) |
| \(e^{at}\) | \(\frac{1}{s-a}\) |
| \(sin(\omega t)\) | \(\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\) |
| \(cos(\omega t)\) | \(\frac{s}{s^2+\omega^2}\) |
Esta tabla es solo una muestra de las muchas transformaciones de Laplace existentes.
Transformadas de laplace | Tabla Métodos Ejemplos Historia de la transformada de LaplaceCada función tiene su propia transformada específica. La tabla es útil como referencia para resolver problemas y simplificar ecuaciones diferenciales y sistemas lineales mediante la aplicación de las propiedades de la Transformación de Laplace.
Propiedades de la Transformación de Laplace
La Transformación de Laplace posee varias propiedades importantes que facilitan su aplicación:
- Derivada en el dominio de la frecuencia: \(\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)\)
- Integral en el dominio de la frecuencia: \(\mathcal{L}\{\int f(t) dt\} = \frac{1}{s}F(s)\)
- Convolución en el dominio de la frecuencia: \(\mathcal{L}\{f(t) * g(t)\} = F(s) \cdot G(s)\)
transformacionnes \(\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = a\mathcal{L}\{f(t)\} + b\mathcal{L}\{g(t)\}\)
Estas propiedades permiten manipular las funciones en el dominio del tiempo antes de aplicar la transformación, simplificando así el análisis de ecuaciones y sistemas.
En conclusión, la tabla de Transformaciones de Laplace y sus propiedades son herramientas poderosas para resolver problemas en el ámbito de la física y la ingeniería.
Permiten convertir problemas en el dominio del tiempo a problemas equivalentes en el dominio de la frecuencia, facilitando así su solución y análisis.
